Khóa học ngắn: Một vài mối liên hệ giữa hình học lồi và hình học đại số

Trong hai ngày 22 - 23/06/2026, Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán (VIASM) đã tổ chức thành công khóa học ngắn "Around some Connections between Convex Geometry and Algebraic Geometry". Khóa học do GS. Nguyen-Bac Dang (Đại học Paris-Saclay, Pháp) trực tiếp giảng dạy, thu hút sự tham gia của nhiều sinh viên đại học, học viên cao học và các nghiên cứu sinh có quan tâm đến lĩnh vực hình học đại số và hình học lồi.

Sự kết nối giữa Hình học lồi (Convex Geometry) và Hình học đại số (Algebraic Geometry) có một lịch sử phát triển lâu đời, bắt nguồn từ các công trình kinh điển của Gelfand, Kaveh, Khovanskii, Teissier và tiếp tục được mở rộng mạnh mẽ trong những năm gần đây bởi Okounkov, Lazarsfeld hay Mustata. Mục tiêu chính của khóa học ngắn này là giới thiệu một cách tiếp cận trực quan, kết nối hai lĩnh vực vốn dĩ độc lập này thông qua toán học số chiều thấp (đặc biệt là chiều $n=2$), từ đó giúp học viên dễ dàng nắm bắt được bản chất giao thoa của hai chuyên ngành. Cụ thể hơn, khóa học đã giải thích sự tương đồng giữa bội Hilbert–Samuel của các ideal (trong đại số giao hoán) và việc tính toán thể tích bù (covolume) của các tập lồi đồng lồi (cocompact convex sets).

Chủ đề xuyên suốt các bài giảng là khung lý thuyết song hành được phát hiện từ những năm 1980. Theo đó, một số khái niệm trong đại số giao hoán đều có một "hình ảnh phản chiếu" hình học rõ nét trong hình học lồi, có thể kể đến như Vành địa phương (Local ring) tương ứng với Nón $\mathbb{R}_+^n$; Ideal nguyên sơ (Primary Ideal) tương ứng với các Tập đồng lồi (Co-convex sets); Đa thức Hilbert / Bội số Hilbert-Samuel tương ứng với Thể tích đồng lồi (Co-volume); Bội số hỗn hợp tương ứng với Thể tích đồng lồi hỗn hợp…

Các bài giảng đã đi sâu nghiên cứu về bội Hilbert–Samuel thông qua việc xây dựng "vành nón chuẩn" (normal cone ring) và phiên bản xoắn (twisted version) của nó. Bằng cách sử dụng các phương pháp giải tích thuần túy của Teissier – vốn không đòi hỏi kiến thức quá chuyên sâu về hình học đại số, các học viên đã được tiếp cận những phương pháp kiểm soát và chứng minh tính ổn định của các lý tưởng.

Về phía hình học lồi, trọng tâm bài giảng được chuyển sang các không gian số chiều thấp (đặc biệt là không gian 2 chiều), nơi các công cụ trực quan hóa phát huy hiệu quả cao nhất. Khóa học đã giới thiệu các khái niệm về hàm tựa (support function) và độ đo diện tích bề mặt (surface area measure). Một công thức hình học tích phân kinh điển cũng đã được chứng minh bằng các phương pháp của hình học vi phân: đồng thể tích của một tập lồi có thể được tính trực tiếp thông qua tích phân hàm tựa của nó đối với độ đo diện tích bề mặt.

Khóa học cũng mang đến bất ngờ cho các học viên khi đưa giải tích Fourier vào nghiên cứu các bài toán hình học lồi. Bằng cách khai triển các hàm tựa thành chuỗi Fourier và khai thác tính dương của các độ đo diện tích bề mặt, GS. Nguyen-Bac Dang đã chứng minh thành công một trường hợp đặc biệt của “bất đẳng thức ba vật” (three-body inequality) — một kết quả phản chiếu bất đẳng thức Ruggiero–Gignac trong đại số.

Mối liên hệ sâu sắc nhất giữa các cấu trúc đại số và hình học đã được làm nổi bật qua định lý Kaveh–Khovanskii. Các học viên đã được tiếp cận định lý nổi tiếng này, nơi thiết lập một mối quan hệ định lượng trực tiếp giữa hai lĩnh vực. Khóa học đã chứng minh rằng việc tính chiều dài đại số của một lý tưởng đơn thức (monomial ideal) về bản chất tương đương với một bài toán đếm hình học: đếm các điểm nguyên nằm ngoài một tập lồi. Định lý khẳng định rằng bội Hilbert–Samuel của một lý tưởng đơn thức chính bằng đồng thể tích của đa diện Newton tương ứng nhân với hằng số giai thừa $n!$.

Khóa học không chỉ dừng lại ở các kết quả đã có mà còn mở ra nhiều câu hỏi nghiên cứu thú vị. GS. Nguyen-Bac Dang đã khép lại chuỗi bài giảng bằng việc trình bày hai giả thuyết liên quan đến việc mở rộng bất đẳng thức ba vật cho các lý tưởng nguyên sơ bất kỳ và cho các vật thể lồi trong không gian nhiều chiều hơn.

Khóa học đã mang đến một môi trường học thuật chất lượng cao, giúp các nhà nghiên cứu trẻ tiếp cận tư duy toán học hiện đại: sử dụng trực giác hình học để diễn giải đại số trừu tượng, và vận dụng các công cụ đại số để giải quyết những bài toán hình học phức tạp

Một số hình ảnh khác của khóa học: