Từ ngày 06-08/07/2026, Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán (VIASM) đã tổ chức thành công Hội thảo “Hình học Riemann và các đề tài liên quan”. Hội thảo quy tụ nhiều chuyên gia và các nhà nghiên cứu xuất sắc  trong lĩnh vực rộng của Hình học Riemann đến từ Pháp, Singapore, Nhật Bản, Trung Quốc, Hoa Kỳ, Đài Loan, Việt Nam; cùng hơn 50 đại biểu tham dự là các nghiên cứu sinh, các nhà nghiên cứu trẻ và các nhà nghiên cứu giàu kinh nghiệm quan tâm đến lĩnh vực này cả trong và ngoài nước. Các báo cáo của Hội thảo tập trung vào các vấn đề quan trọng trong hình học vi phân, cũng như sự liên kết của nó với các phương trình đạo hàm riêng hình học, và vật lý toán.

Mở đầu hội thảo, GS. Gerard Besson (Đại học Grenoble-Alpes, Pháp) người đóng vai trò rất lớn trong việc kiểm tra  giả thuyết Poincare và là cựu giám đốc viện toán học Fourier đã trình bày một kết quả rigidity liên quan đến cấu trúc Riemannian nội tại của các mặt cầu chân trời (Horospheres). Nghiên cứu chỉ ra rằng nếu một trong các mặt này có tính chất phẳng-vô-hướng (scalar-flat), thì đa tạp đóng đó sẽ có tính chất hyperbolic thực địa phương. Phương pháp chứng minh có tính kế thừa và phát triển từ kết quả kinh điển của E. Hopf (1947). Đồng thời, báo cáo cũng mở ra các thảo luận quan trọng về việc thay thế giả thiết  độ cong bằng giả thiết không có điểm liên hợp (no conjugate points).. 

GS. Gerard Besson (Đại học Grenoble-Alpes, Pháp) trình bày báo cáo tại hội thảo

Tiếp theo đó GS. Xiao Zhang (Đại học Guangxi và Viện hàn lâm Khoa học Trung Quốc, Trung Quốc) đã trình bày một nghiên cứu về vật lý Toán dựa trên giả thuyết của Hawking-Pope và phản ví dụ của Le Brun  liên quan đến hằng số vũ trụ âm với giả thiết  cấu trúc hình học là tiệm cân hyperbolic địa phương  (Asymptotically Locally Hyperbolic). Báo cáo của GS. Zhang chỉ ra rằng định lý năng lượng dương là không đúng đối với các metric thuộc kiểu Eguchi-Hanson loại II với các thương không tầm thường của mặt cầu ở vô hạn, nhưng lại luôn đúng đối với các metric tiệm cận Horowitz-Myers trên $\mathbb{R}^2 \times T^{n-2}$ với hình xuyến ở vô hạn. 

Phiên báo cáo của GS. Xiao Zhang (Đại học Guangxi, Trung Quốc)

Dựa trên công trình hợp tác với Toru Kajigaya, PGS. Keita Kunikawa (Đại học Tokushima, Nhật Bản) đã chứng minh rằng chỉ số Morse của bất kỳ siêu mặt cực tiểu đóng không ổn định nào trong không gian đối xứng Riemannian nửa-đơn, compact đều bị chặn dưới bởi một bội số hằng của số Betti thứ nhất của chính siêu mặt đó. Kết quả này cung cấp một phần câu trả lời cho câu hỏi lớn được đặt ra bởi các nhà toán học nổi tiếng Schoen, Marques và Neves liên quan đến sự tồn tại của cận dưới cho chỉ số Morse trên các siêu mặt cực tiểu đóng trong một đa tạp Riemannian đóng có độ cong Ricci dương. 

Các báo cáo viên và đại biểu tham dự cùng chụp ảnh lưu niệm

Mở đầu phiên buổi chiều trong ngày đầu tiên của hội thảo, PGS. Han Fei (Đại học Quốc gia Singapore) đã giới thiệu tổng quan về các tính chất hình học và tô pô cơ bản của các đa tạp hầu như phẳng (almost flat manifolds). Từ đó, PGS. Han Fei thảo luận về một giả thuyết nổi tiếng của Farrell–Zdravkovska và S.T.Yau, khẳng định rằng các đa tạp hầu như phẳng compact nhất thiết phải xuất hiện như là các biên (boundaries). GS đã giải thích  một cách tường minh cách thức kết hợp các lớp Wu (Wu classes) cùng với Định lý chỉ số Atiyah–Singer để nghiên cứu bài toán này. 

GS. Han Fei (Đại học Quốc gia Singapore) trình bày báo cáo về các tính chất hình học và tô pô cơ bản của các đa tạp hầu như phẳng

Trong công trình hợp tác cùng Quỳnh Lê và Quốc Anh Ngô, TS. Nguyễn Tiến Tài (Trường ĐH KHTN, ĐHQG Hà Nội) đã nghiên cứu về các nghiệm phân bố dương của phương trình elliptic phân số trong không gian thủng (punctured space). Bằng cách áp dụng các điều kiện phù hợp lên tính phi tuyến, nhóm nghiên cứu đã thu được tính chất đối xứng tâm (radially symmetric property) của các nghiệm phân bố dương thông qua phương pháp mặt cầu di động dưới dạng tích phân (method of moving spheres in integral form). 

Phiên báo cáo của TS. Nguyễn Tiến Tài (Trường ĐH KHTN, ĐHQG Hà Nội)

Phiên làm việc của ngày đầu tiên kết thúc bằng báo cáo của TS. Phạm Thế Doanh (Trung tâm Nghiên cứu Toán học Quốc tế Bắc Kinh, Trung Quốc). Báo cáo này tập trung vào các bất đẳng thức trội định thức (determinant majorization inequalities). Đây là công cụ quan trọng để so sánh các toán tử Gårding-Dirichlet với toán tử Monge-Ampère vốn có ứng dụng đặc biệt quan trọng trong các nghiên cứu về phương trình đạo hàm riêng phi tuyến hoàn toàn (fully nonlinear PDEs). Trong phiên báo cáo của mình, TS. Doanh đã mở rộng thành công kết quả trước đây của Harvey và Lawson sang cho các đa thức hyperbolic trên đại số Jordan Euclid, đồng thời thảo luận sâu về tính trội của các toán tử Hessian. 

Ngày thứ hai của Hội thảo bao gồm 4 báo cáo của các nhà khoa học trẻ trong và ngoài nước. Đầu tiên, PGS. Chih-Wei Chen (Đại học Quốc gia Sun Yat Sen, Đài Loan) mang đến bài báo cáo nhập môn nhưng chuyên sâu về các ý tưởng và phương pháp cốt lõi của "Học đa tạp" (Manifold Learning) dưới góc nhìn của một nhà hình học. Bài thuyết trình tập trung làm rõ cách thức mà các cấu trúc hình học phức tạp của một đa tạp Riemann có thể được suy diễn và khôi phục một cách chính xác từ các điểm dữ liệu được lấy mẫu ngẫu nhiên – một ứng dụng quan trọng kết nối hình học thuần túy với khoa học dữ liệu hiện đại. 

PGS. Chih-Wei Chen (Đại học Quốc gia Sun Yat Sen, Đài Loan) trình bày báo cáo về "Học đa tạp" (Manifold Learning) dưới góc nhìn của một nhà hình học

Tiếp đó, TS. Nguyễn Ngọc Khanh (Viện Hàn lâm Khoa học Bắc Kinh, Trung Quốc) mang đến hội thảo bài trình bày về bất đẳng thức Harnack yếu (weak Harnack inequality) và các tính chất Cartan đối với các phần tử cực tiểu $W^{s,1}$ phi cục bộ (nonlocal $W^{s,1}$-minimizers). Đây là kết quả nghiên cứu có liên quan chặt chẽ đến lý thuyết mặt cực tiểu phi địa phương, một hướng nghiên cứu quan trọng trong giải tích hình học hiện đại.

 Phiên báo cáo của TS. Nguyễn Ngọc Khanh (Viện Hàn lâm Khoa học Bắc Kinh, Trung Quốc)

Phiên làm việc buổi sáng kết thúc bằng báo cáo liên quan đến vật lý toán của PGS. Chuxiao Liu (Đại học Quảng Tây, Trung Quốc). Báo cáo đã giới thiệu một metric với độ cong  Ricci đặc biệt thuộc loại Taub–NUT thừa nhận khối lượng toàn phần  âm. Nghiên cứu chứng minh rằng không gian spinor twistor trùng khớp với không gian spinor song song (đều là không gian phức 2 chiều). Từ đó, tác giả xây dựng các trường Rarita–Schwinger và spinor điều hòa $L^2$, tách thành công các phương trình Dirac và Rarita–Schwinger thành các phần góc và bán kính để tìm ra nghiệm tường minh cho nhiều trường hợp đặc biệt. 

Phiên buổi chiều gồm một báo cáo cáo của TS. Hà Tuấn Dũng (ĐH Sư phạm Hà Nội 2). Báo cáo này mang đến những phát triển gần đây liên quan đến các  nhóm biến đổi  trên các  gradient Ricci soliton. Báo cáo thảo luận về các cận tối ưu và các hiện tượng gap cho các nhóm biến đổi bảo toàn thế vị soliton, cũng như tính chất rigidity trên các gradient Kahler-Ricci soliton.

Cuối ngày hội thảo thứ hai, các diễn giả và khách mời đã dành thời gian cùng nhau tham quan Hoàng Thành Thăng Long. Chuyến đi  ngắn nhưng đầy ý nghĩa này đã mang đến những trải nghiệm vô cùng đặc biệt về chiều  sâu lịch sử của Hà Nội. Chuyến đi đã xây dựng được mối quan hệ gắn bó giữa các nhà khoa học và làm cho họ hiểu rõ hơn về mảnh đất con người của thủ đô Hà Nội ngàn năm văn hiến. 

Mở đầu phiên buổi sáng của ngày cuối cùng của hội thảo là các báo có liên quan đến các cấu trúc hình học của các đa tạp phức. Đầu tiên, PGS.TS. Tran Thanh Hung (ĐH Công nghệ Texas) đã mang đến bài giảng chuyên sâu về vai trò của tính đối xứng lớn làm hạn chế cấu trúc hình học nền tảng của các Gradient Ricci Solitons (vốn là mô hình điểm kỳ dị cho dòng Ricci). Nghiên cứu chỉ ra chiều của nhóm đẳng cự của một Gradient Kähler-Ricci Soliton (GKRS) không tầm thường trong chiều phức bằng 2 chỉ có thể nằm trong khoảng từ 1 đến 4 nhưng không thể bằng 3. 

PGS.TS. Tran Thanh Hung (ĐH Công nghệ Texas) trình bày báo cáo tại hội thảo

Tiếp theo đó, PGS. Xujun Zhang (Đại học Quảng Tây) đã giới thiệu kỹ thuật $L^2$ đảo ngược trong giải tích phức nhiều biến (được phát triển bởi Deng–Ning–Wang–Zhou). Qua đó, diễn giả trình bày các tiến bộ mới nhất trong hình học phức và hình học lồi, bao gồm một chứng minh đơn giản cho định lý Prékopa dạng ma trận và các biến thể của định lý phân hoạch kiểu Skoda. 

PGS. Xujun Zhang (Đại học Quảng Tây) giới thiệu kỹ thuật $L^2$ đảo ngược trong giải tích vài biến phức

Tiếp nối báo cáo này, TS. Dương Ngọc Sơn (Đại học Phenikaa) đã thảo luận về các kết quả phân loại mới nhất đối với các ánh xạ chỉnh hình (holomorphic maps) đi từ một hyperquadric vào một lớp các mô hình siêu mặt thực thừa nhận đại số đối xứng số chiều lớn. Công trình này được thực hiện dựa trên sự hợp tác nghiên cứu cùng nhà toán học Michael Reiter. 

Phiên trình bày của TS. Dương Ngọc Sơn (Đại học Phenikaa)

Phiên buổi chiều tập trung vào các ứng dụng dựa trên nền tảng hình học vi phân. Đầu tiên, GS. Xiaoning Wu (Viện Hàn lâm Khoa học Trung Quốc) giới thiệu các định lý về tính duy nhất của lỗ đen, một kết quả nền tảng trong thuyết tương đối tổng quát. GS. Wu đã công bố các kết quả mới đạt được trong những năm gần đây nhằm tái cấu trúc định lý này dưới một dạng thức mới tiên tiến hơn, giúp kết nối một cách dễ dàng và tương thích trực tiếp với các dữ liệu và công nghệ quan sát thiên văn hiện đại.

GS. Xiaoning Wu (Viện Hàn lâm Khoa học Trung Quốc) trình bày báo cáo về lỗ đen tại hội thảo

TS. Nguyễn Văn Hoàng (Đại học FPT) tiếp tục đóng góp các phát hiện mới về mặt giải tích toán học thuần túy, xác định các hằng số tối ưu (sharp constants) và đưa ra các ước lượng độ ổn định chính xác cho hệ bất đẳng thức hình học học $L^2$-Caffarelli-Kohn-Nirenberg..

TS. Nguyễn Văn Hoàng (Đại học FPT) đóng góp các phát hiện mới về mặt giải tích toán học thuần túy

Khép lại ngày cuối cùng của hội thảo, bài báo cáo của TS. Trần Thế Dũng (ĐH KHTN, ĐHQG Hà Nội) thiết lập một lý thuyết tồn tại chặt chẽ cho các đường cong spline lượng tử (được Brody, Holm và Meier giới thiệu trên tạp chí Physical Review Letters năm 2012). Bằng cách đưa bài toán về một khung dòng gradient hình học cho nội suy spline Riemannian, tác giả đã xây dựng một tiến trình tiến hóa bậc bốn có nghiệm trơn, làm nền tảng toán học vững chắc cho việc mô tả các quỹ đạo điều khiển lượng tử tối ưu, giải quyết bài toán biên phức tạp mà các mô hình trước đó chưa đáp ứng được.

Phiên trình bày của TS. Trần Thế Dũng (ĐH KHTN, ĐHQG Hà Nội) khép lại 3 ngày hội thảo "Hình học Riemann và các đề tài liên quan"

Đúng như tên gọi "Hình học Riemann và các đề tài liên quan", hội thảo đã bao phủ một phổ nghiên cứu rộng và sâu từ cấu trúc nội tại của đa tạp, các bài toán độ cứng (rigidity), chỉ số Morse, cho tới cấu trúc dòng solitons, cũng như các ứng dụng liên quan đến các phương trình đạo hàm riêng hình học, hình học phức, học đa tạp, các spline lượng tử.. Các báo cáo đã giới thiệu những kết quả mới gần đây, đồng thời tạo ra mối quan hệ, trao đổi hợp tác khoa học giữa các nhà toán học trong và ngoài nước. Hội thảo cũng đã góp phần làm rõ vai trò của Hình học Riemann khi làm nền tảng phát triển cho các ngành liên quan như: Vật lý lý thuyết (Thuyết tương đối tổng quát, Lỗ đen, Cơ học lượng tử) và Khoa học dữ liệu (Thuật toán học đa tạp từ dữ liệu lớn).

Một số hình ảnh khác của hội thảo